试题分析:⑴由已知先写出
,
的解析式,然后根据函数的单调性与导函数的关系分别求出
的最大值和
的最小值,只要使得最大值大于最小值,就能保证题设的条件成立;⑵函数的解析式中含有参数,所以做关于函数解析式的讨论时一定要讨论参数的取值,本题关于参数
分三种情况进行讨论,利用导数讨论函数的单调性,利用导数讨论函数的最值,解题时注意要全面讨论,不能漏解.
试题解析:(1)由已知得
解得
,
当
时,
,
单调递减;当
时,
,
单调递增,
所以
, 3分
又
显然
则
在
上是递增函数,
,所以
,
存在
使
成立,实数
的取值范围是
; .6分
(2)解:
,分类讨论:
①当
时,
,
所以
在
单调递增,在
单调递减,
在
只有最小值没有最大值,..8分
当
,
;
②当
时,令
,得
,
,
与
的情况如下:
故
的单调减区间是,
;单调增区间是
.
当
时,由上得,
在
单调递增,在
单调递减,所以
在
上存在最大值
.又因为
,
设
为
的零点,易知
,且
.从而
时,
;
时,
.
若
在
上存在最小值,必有
,解得
.
所以
时,若
在
上存在最大值和最小值,
的取值范围是
. .11分
③当
时,
与
的情况如下:
所以
的单调增区间是
;单调减区间是
,
在
单调递减,在
单调递增,所以
在
上存在最小值
.又因为
,
若
在
上存在最大值,必有
,解得
,或
.
所以
时,若
在
上存在最大值和最小值,
的取值范围是
.
综上,
的取值范围是
. 14分