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已知 $数学公式$ ．
（1）b=2时，求f（x）的值域；
（2）若b为正实数，f（x）的最大值为M，最小值为m，且满足：M-m≥4，求b的取值范围．

解：（1）当b=2时， $\text{[math]}$ ，
因为f（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递减，在 $\text{[math]}$ 上单调递增，…（2分）
所以f（x）的最小值为 $\text{[math]}$ ，…（4分）
又因为f（1）=f（2）=0…（5分）
所以f（x）的值域为 $\text{[math]}$ …（6分）
（2）①当0＜b＜2时，f（x）在[1，2]上单调递增，
则m=b-2， $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ，得b≤-6与0＜b＜2矛盾（舍去）…（8分）
②当2≤b＜4时，f（x）在 $\text{[math]}$ 上单调递减，在 $\text{[math]}$ 上单调递增，
所以 $\text{[math]}$ ，
则 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，解得b≥9，与2≤b＜4矛盾（舍去）…（11分）
③当b≥4时，f（x）在[1，2]上单调递减，
则M=b-2， $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ，得b≥10…（13分）
综上所述，b的取值范围是[10，+∞）…（14分）
分析：（1）根据对勾函数的单调性看求出该函数的最小值和最大值，从而求出值域；
（2）讨论 $\text{[math]}$ 与区间[1，2]的位置关系，然后根据函数的单调性求出f（x）的最大值为M，最小值为m，然后根据M-m≥4，求b的取值范围即可．
点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及函数的单调性和研究函数值域，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．

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已知f(x)=x+

-3，x∈[1，2]
（1）b=2时，求f（x）的值域；
（2）b≥2时，f（x）＞0恒成立，求b的取值范围．

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定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x₀，有f（x₀）=x₀，则称x₀是f（x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
（2）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B的中点C在函数g(x)=-x+

5a2-4a+1

的图象上，求b的最小值．
（参考公式：A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）的中点坐标为(

x1+x2

，

y1+y2

)）

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科目：高中数学 来源： 题型：

（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(

-1)2+(

-1)2，x∈D，其中0＜a＜b．
（1）当D=（0，+∞）时，设t=

，f（x）=g（t），求y=g（t）的解析式及定义域；
（2）当D=（0，+∞），a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（3）设k＞0，当a=k²，b=（k+1）²时，1≤f（x）≤9对任意x∈[a，b]恒成立，求k的取值范围．