Question

已知f(x)=x+

b

x

-3，x∈[1，2]
（1）b=2时，求f（x）的值域；
（2）b≥2时，f（x）＞0恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当b=2时，f(x)=x+

2

x

-3，x∈[1，2]，利用双钩函数的单调性即可求得f（x）的值域；
（2））b≥2时，f（x）＞0恒成立，即求函数f（x）的最小值＞0即可，利用基本不等式求最值，一定注意等号成立的条件，因此对b进行讨论，当2≤b＜4时，f（x）最小值为f(

b

)=2

b

-3，b≥4时，f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）最小值为f(2)=

b

2

-1，从而求得b的取值范围．

解答：解：（1）当b=2时，f(x)=x+

2

x

-3，x∈[1，2]．
因为f（x）在[1，

2

]上单调递减，在[

2

，2]上单调递增，
所以f（x）的最小值为f(

2

)=2

2

-3．
又因为f（1）=f（2）=0，
所以f（x）的值域为[2

2

-3，0]．
（2）（ⅰ）当2≤b＜4时，因为f（x）在[1，

b

]上单调递减，在[

b

，2]上单调递增，
f（x）最小值为f(

b

)=2

b

-3，f（x）＞0，即2

b

-3＞0．
得4＞b＞

9

4

．
（ⅱ）b≥4时，f（x）在[1，2]上单调递减，f（x）最小值为f(2)=

b

2

-1，f（x）＞0，
即

b

2

-1＞0，得b＞2，因此b≥4．
综合（ⅰ）（ⅱ）可知b＞

9

4

．

点评：此题是个中档题．考查利用基本不等式求函数的最值问题，注意正定等，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．