Question

已知f(x)=x+

b

x

-3， x∈[1，2]
（1） b=2时，求f（x）的值域；
（2） b≥2时，f（x）的最大值为M，最小值为m，且满足：M-m≥4，求b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求出f（x），然后根据函数f（x）在[1，2]上的单调性求出f（x）的最小值，将端点代入比较求出函数的最大值，从而求出函数f（x）的值域；
（2）分类讨论：①当2≤b＜4时，②b≥4时，研究函数f（x）在[1，2]上单调上的单调性求出f（x）的最大值为M，最小值为m，最后根据M-m≥4，求出b的取值范围．

解答：解：（1）当b=2时，f(x)=x+

2

x

-3，x∈[1，2]．
因为f（x）在[1，

2

]上单调递减，在[

2

，2]上单调递增，（2分）
所以f（x）的最小值为f(

2

)=2

2

-3．（4分）
又因为f（1）=f（2）=0，（5分）
所以f（x）的值域为[2

2

-3，0]．（6分）
（2）（ⅰ）当2≤b＜4时，因为f（x）在[1，

b

]上单调递减，在[

b

，2]上单调递增．
所以M=max{f(1)，f(2)}=b-2， m=f(

b

)=2

b

-3．M-m=b-2

b

+1≥4，得(

b

-1)2≥4．
即b≥9，与2≤b＜4矛盾．（11分）
（ⅱ）b≥4时，f（x）在[1，2]上单调递减．
M=b-2，m=

b

2

-1，M-m=

b

2

-1≥4，即b≥10．（16分）

点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义，以及利用单调性求函数的值域，同时考查了分类讨论的思想，属于中档题．