Question

设函数f(x)=xⁿ+bx+c(n∈N₊,b,c∈R).
(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:f(x)在区间(,1)内存在唯一零点;
(2)设n为偶数,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,求b+3c的最小值和最大值;
(3)设n=2,若对任意x₁,x₂∈[-1,1],有|f(x₁)-f(x₂)|≤4,求b的取值范围.

Answer 1

(1)见解析   (2)最小值为-6,最大值为0.    (3)-2≤b≤2

解:(1)当b=1,c=-1,n≥2时,f(x)=xⁿ+x-1,
∵ff(1)=×1<0,
∴f(x)在(,1)内存在零点.
又∵当x∈(,1)时,f′(x)=nx^n-1+1>0,
∴f(x)在区间(,1)内单调递增,
∴f(x)在(,1)内存在唯一的零点.
(2)依题意知
∴.
画出可行域可知b+3c在点(0,-2)处取得最小值-6.在点(0,0)处取得最大值0,因而b+3c的最小值为-6,最大值为0.

(3)当n=2时,f(x)=x²+bx+c,
对任意x₁,x₂∈[-1,1]都有|f(x₁)-f(x₂)|≤4等价于f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值之差M≤4,据此分类讨论如下:
若>1,即|b|>2时,
M=|f(1)-f(-1)|=2|b|>4与题设矛盾.
若-1≤-<0,即0<b≤2时,
M=f(1)-f(-)=(+1)²≤4恒成立.
若0≤-≤1,即-2≤b≤0时,
M=f(-1)-f(-)=(-1)²≤4恒成立.
综上可知,-2≤b≤2.