Question

【题目】设函数f（x）=丨x+a+1丨+丨x-丨，（a＞0）。

(1)证明：f（x）≥5；

（2）若f（1）＜6成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（1,4）

【解析】试题分析：

(1)由题意结合绝对值不等式的性质和均值不等式的性质即可证得题中的结论；

(2)由题意得到关于实数a的不等式，然后求解绝对值不等式可得实数a的取值范围是（1,4）.

试题解析：

f（x）=丨x+a+1丨+丨x-丨≥丨（x+a+1）-（x-）丨=丨a+1+丨

∵a＞0，∴f（x）≥a+1+≥2+1=5

（II）由f（1）＜6得：丨a+2丨+丨1-丨＜6

∵a＞0，∴丨1-丨＜4-a， ＜4-a

①当a≥4时，不等式＜4-a无解；

②当a＜4时，不等式，即＜1，a＞1，所以1＜a＜4

综上，实数a的取值范围是（1,4）