Question

4．已知顶点在原点O，准线方程是y=-1的抛物线与过点M（0，1）的直线l交于A，B两点，若直线OA和直线OB的斜率之和为1
（Ⅰ）求此抛物线的标准方程；
（Ⅱ）求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设抛物线的标准方程为x²=2py，由准线方程是y=-1，可得p=2，即可求此抛物线的标准方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+1，联立直线与抛物线的方程可得：x²-4kx-4=0，根据韦达定理可得直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意可知抛物线焦点在y轴正半轴，设抛物线的标准方程为x²=2py，
由准线方程是y=-1，可得p=2，
所以抛物线的标准方程为x²=4y；（6分）
（Ⅱ）设直线l的方程为：y=kx+1，
代人抛物线的标准方程消y整理得x²-4kx-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\frac{y_1}{x_1}+\frac{y_2}{x_2}=1$①
因为y₁=kx₁+1，y₂=kx₂+1，代人①，得$2k+（\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}）=1$②
因为x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，代人②得k=1，
所以直线l的方程为：y=x+1．（14分）

点评 本题主要考查抛物线的方程与简单性质、直线的一般式方程、直线与抛物线的位置关系，以及方程思想，属于基础题．