Question

（本小题满分15分）（文）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC，BAD=，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点.

     （Ⅰ）求证：PB⊥DM；

     （Ⅱ） 求CD与平面ADMN所成角的余弦

 

Answer 1

【答案】

 

  解：方法一：

（Ⅰ）因为N是PB的中点，PA=AB，

所以AN⊥PB。

因为AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，

从而PB⊥平面ADMN，

因为DM平面ADMN，

所以PB⊥DM。

（Ⅱ）取AD的中点G，连结BG、NG，

  则BG//CD，

所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN

所成的角相等。

因为PB⊥平面ADMN，

所以∠BGN是BG与平面ADMN所成的角。

在Rt△BGN中，

  sin∠BGN==。

  故CD与平面ADMN所成的角是arcsin。

方法二：

    如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系A-xyz，设BC=1，则

A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，1，0），M（1，，1），D（0，2，0）。

（Ⅰ）   因为

=0，所以PB⊥DM。

（Ⅱ）    因为  =0，

所以PB⊥AD，

又因为PB⊥DM，

所以PB⊥平面ADMN。

    因此的余角即是CD与平面ADMN所成的角

因为

  = ，

所以CD与平面ADMN所成的角为arcsin.

【解析】略