Question

[x]表示不超过x的最大整数，定义函数f（x）=x-[x]．则下列结论中正确的有

②

①函数f（x）的值域为[0，1]；
②方程f（x）=

1

2

有无数个解
③函数f（x）的图象是一条直线；   
④函数f（x）是R上的增函数．

Answer 1

分析：在解答时要先充分理解[x]的含义，从而可知针对于选项注意对新函数的最值、单调性以及周期性加以分析即可．

解答：解：∵函数f（x）的定义域为R，又∵f（x+1）=（x+1）-[x+1]=x-[x]=f（x），
∴函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，每隔一个单位重复一次，
所以方程f（x）=

1

2

有无数个解，故②正确；
当0≤x＜1时，f（x）=x-[x]=x-0=x，∴函数{x}的值域为[0，1），故①错误；
函数{x}是周期为1的函数，∴函数{x}不是单调函数，当然图象也不可能为一条直线，
故③④错误．
故答案为：②

点评：本题考查分段函数知识和函数值域等性质的综合类问题，属中档题．