Question

如图，在半径为3m的

1

4

圆形（O为圆心）铝皮上截取一块矩形材料OABC，其中点B在圆弧上，点A、C在两半径上，现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），设矩形的边长AB=xm，圆柱的体积为Vm³．
（1）写出体积V关于x的函数关系式，并指出定义域；
（2）当x为何值时，才能使做出的圆柱形罐子体积V最大？最大体积是多少？

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数解析式的求解及常用方法

专题：应用题,导数的综合应用

分析：（1）连接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得OA=

9-x2

，设圆柱底面半径为r，则

9-x2

=2πr，即可得出r．利用V=πr²•x（其中0＜x＜30）即可得出．
（2）利用导数V′，得出其单调性，即可得出结论．

解答： 解：（1）连接OB，在Rt△OAB中，∵AB=x，∴OA=

9-x2

，
设圆柱底面半径为r，则

9-x2

=2πr，
即4π²r²=9-x²，
∴V=πr²•x=

9x-x3

4π

，其中0＜x＜3．…（6分）
（2）由V′=

9-3x2

4π

=0及0＜x＜3，得x=

3

，…（8分）
列表如下：

x	（0， 3 ）	3	（ 3 ，3）
V′	+	0	-
V		极大值 3 3 2π

…（10分）
所以当x=

3

时，V有极大值，也是最大值为

3 3

2π

．…（14分）
答：当x为

3

m时，做出的圆柱形罐子体积最大，最大体积是

3 3

2π

m³．…（16分）

点评：熟练掌握勾股定理、圆柱的体积计算公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值等是解题的关键．