Question

已知数列{a_n}是等差数列，a₂=6，a₅=18；数列{b_n}的前n项和是T_n，且T_n+

1

2

b_n=1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：数列{b_n}是等比数列；
（3）记c_n=a_n•b_n，求{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）设a_n的公差为d，根据等差数列通项公式根据a₂=6，a₅=18可求得a₁和d，进而可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）先看当n≥2时根据T_n-T_n-1=b_n，可得b_n与b_n-1的关系式整理的bn=

1

3

bn-1，进而可知为等比数列，最后验证n=1时，也成立．原式得证．
（3）由（2）可求得数列{b_n}的通项公式，进而可得{c_n}的通项公式．数列{c_n}由等差数列和等比数列构成，进而可用错位将减法求和．

解答：解：（1）设a_n的公差为d，则：a₂=a₁+d，a₅=a₁+4d，
∵a₂=6，a₅=18，∴

a1+d=6 a1+4d=18

，∴a₁=2，d=4．
∴a_n=2+4（n-1）=4n-2．
（2）当n=1时，b₁=T₁，由T1+

1

2

b1=1，得b1=

2

3

．
当n≥2时，∵Tn=1-

1

2

bn，Tn-1=1-

1

2

bn-1，
∴Tn-Tn-1=

1

2

(bn-1-bn)，即bn=

1

2

(bn-1-bn)
∴bn=

1

3

bn-1．
b_n是以

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列．
（3）由（2）可知：bn=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•(

1

3

)n．
∴cn=an•bn=(4n-2)•2•(

1

3

) n=(8n-4)•(

1

3

)n．
S_n=c₁+c₂+…c_n-1+c_n=4×

1

3

+12×(

1

3

)2+…+(8n-12)×(

1

3

)n-1+(8n-4)×(

1

3

)n
∴．

1

3

Sn=4×(

1

3

)2+12×(

1

3

)3+…+(8n-12)×(

1

3

)n+(8n-4)×(

1

3

)n+1
∴Sn-

1

3

Sn=

2

3

Sn=4×

1

3

+8×(

1

3

)2+8×(

1

3

)3+…+8×(

1

3

)n-(8n-4)×(

1

3

)n+1
=

4

3

+8×

( 1 3 )2•[1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-(8n-4)×(

1

3

)n+1
=

8

3

-4×(

1

3

)n-(8n-4)×(

1

3

)n+1
∴Sn=4-4(n+1)•(

1

3

)n

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式和求和问题．当出现由等比数列和等差数列构成的数列求和时，一般采用错位相减法．