Question

16．如图，某单位准备绿化一块直径AB=a的半圆形空地，△ABC以外地方种草，△ABC的内接正方形PQMN为一水池，其余的地方种花，设∠BAC=θ，△ABC的面积为S₁，正方形PQMN的面积为S₂．
（Ⅰ）试用a，θ表示S₁、S₂；
（Ⅱ）当a固定θ变化时，求θ为何值时，$\frac{S_1}{S_2}$取得最小值？最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）据题知三角形ABC为直角三角形，根据三角函数分别求出AC和AB，求出三角形ABC的面积S₁；设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC，利用BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S₂；
（2）由比值$\frac{{s}_{1}}{{s}_{2}}$，可设t=sin2θ来化简求出S₁与S₂的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值即可求出此时的θ

解答 解：（1）在Rt△ABC中，AB=acosθ，AC=asinθ，
S₁=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$a²sinθcosθ，
设正方形的边长为x则 BP=$\frac{x}{sinθ}$，AP=xcosθ，
由BP+AP=AB，得$\frac{x}{sinθ}$+xcosθ=acosθ，故 x=$\frac{asinθcosθ}{1+sinθcosθ}$，
所以 S₂=x²=${（\frac{asinθcosθ}{1+sinθcosθ}）}^{2}$．
（2）$\frac{{s}_{1}}{{s}_{2}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{（1+sinθcosθ）}^{2}}{sinθcosθ}$=$\frac{{（1+\frac{1}{2}sin2θ）}^{2}}{sin2θ}$=$\frac{1}{sin2θ}$+$\frac{1}{4}$sin2θ+1，（8分）
令t=sin2θ，因为 0＜θ＜$\frac{π}{2}$，
所以0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]（10分）
所以$\frac{{s}_{1}}{{s}_{2}}$=$\frac{1}{t}$+$\frac{1}{4}$t+1=g（t），g′（t）=-$\frac{1}{{t}^{2}}$+$\frac{1}{4}$＜0，
所以函数g（t）在（0，1]上递减，（11分）
因此当t=1时g（t）有最小值 g（t）min=g（1）=$\frac{9}{4}$，
此时 sin2θ=1，θ=$\frac{π}{4}$所以当 θ=$\frac{π}{4}$时，$\frac{{s}_{1}}{{s}_{2}}$，最小值为 $\frac{9}{4}$．

点评 考查学生会根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力．