Question

7．已知数列{a_n}的首项a₁=1，且对每个n∈N^*，a_n，a_n+1是方程x²+3nx+b_n=0的两根，则b₁₀=224．

Answer 1

分析 通过根与系数的关系可知a_n+a_n+1=-3n、a_n•a_n+1=b_n，进而a_n+2-a_n=-3，在a_n+a_n+1=-3n中令n=1可得a₂=-4，进而利用b₁₀=a₁₀•a₁₁计算即可．

解答 解：∵a_n，a_n+1是方程x²+3nx+b_n=0的两根，
∴a_n+a_n+1=-3n，a_n•a_n+1=b_n，
∴a_n+1+a_n+2=-3（n+1），
两式相减得：a_n+2-a_n=-3（n+1）+3n=-3，
∴数列{a_n}中的奇数项和偶数项均构成以-3为公差的等差数列，
∵a_n+a_n+1=-3n，
∴a₁+a₂=-3，
∴a₂=-a₁-3=-1-3=-4，
∴a₁₀=-4+4×（-3）=-16，
a₁₁=1+5×（-3）=-14，
∴b₁₀=a₁₀•a₁₁=（-16）•（-14）=224，
故答案为：224．

点评 本题考查数列的通项公式，注意解题方法的积累，属于中档题．