Question

设数列{a_n}是以a为首项，t为公比的等比数列，令b_n=1+a₁+a₂+…+a_n，c_n=2+b₁+b₂+…+b_n，n∈N
（1）试用a，t表示b_n和c_n
（2）若a＞0，t＞0且t≠1，试比较c_n与c_n+1（n∈N）的大小
（3）是否存在实数对（a，t），其中t≠1，使得{c_n}成等比数列，若存在，求出实数对（a，t）和{c_n}；若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）注意到b_n=1+a₁+a₂+…+a_n除 首项，其余是数列{a_n} 各项，按照等比数列求和公式可表示出b_n，再去求c_n．注意对公比t是否为1进行讨论．
（2），由此再判判断．
（3），若成等比数列，根据通项公式特点须研究方程组解得情况，做出判断．
解答：解：（1）当t=1时，a_n=a₁=a，b_n=1+na，
当t≠1时，a_n=at^n-1，
∴
（2）
当t＞1时，1-t＜0，1-tⁿ⁺¹＜0，而已知a＞0，∴∴c_n+1-c_n＞0
同理当0＜t＜1时，1-t＞0，1-tⁿ⁺¹＞0，而已知a＞0，∴∴c_n+1-c_n＞0
综上所述c_n+1＞c_n
（3）若成等比数列，则令
由（2），得a=t-1代入（1），得
此时c_n=2ⁿ⁺¹=4×2^n-1
所以存在实数对（a，t）为（1，2），使得{c_n}成为以4为首项，2为公比的等比数列．
点评：本题考查等差、等比数列求和，代数式大小比较，方程组求解问题，考查计算、转化，分类讨论等思想方法和能力．