Question

设n∈N^*，圆C_n：x²+y²=（R_n＞0）与y轴正半轴的交点为M，与曲线的交点为N（），直线MN与x轴的交点为A（a_n，0）．
（1）用n表示R_n和a_n；
（2）求证：a_n＞a_n+1＞2；
（3）设Sn=a₁+a₂+a₃+…+a_n，T_n=，求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）确定N、M的坐标，利用N在圆C_n：x²+y²=上，直线MN与x轴的交点为A（a_n，0），即可用n表示R_n和a_n；
（2）利用＞＞2，＞1，即可证得结论；
（3）先证当0≤x≤1时，，进而可得，从而，求和即可证得结论．
解答：（1）解：∵N（）在曲线上，∴N（，）
代入圆C_n：x²+y²=，可得，∴M（0，）
∵直线MN与x轴的交点为A（a_n，0）．
∴=
∴
（2）证明：∵，
∴＞2
∵＞，
∴＞+
∴a_n＞a_n+1＞2；
（3）证明：先证当0≤x≤1时，
事实上，等价于
等价于≤1+x≤
等价于≤0≤
后一个不等式显然成立，前一个不等式等价于x²-x≤0，即0≤x≤1
∴当0≤x≤1时，
∴
∴（等号仅在n=1时成立）
求和得
∴．
点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项，考查不等式的证明，证题的关键是证明当0≤x≤1时，，属于难题．