Question

如图所示，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F为PC的中点，AF⊥PB.

(1)求PA的长；
(2)求二面角B-AF-D的正弦值．

Answer 1

（1）2（2）

(1)如图，连结BD交AC于O，因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又AC平分∠BCD，

故AC⊥BD.以O为坐标原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则OC＝CDcos＝1，而AC＝4，得AO＝AC－OC＝3.又OD＝CDsin＝，故A(0，－3，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(－，0，0)．
因为PA⊥底面ABCD，可设P(0，－3，z)，由F为PC边中点，得F，又＝，＝(，3，－z)，因AF⊥PB，故·＝0，即6－＝0，z＝2(舍去－2)，所以||＝2.
(2)由(1)知＝(－，3，0)，＝(，3，0)，＝(0，2，)．设平面FAD的法向量为n₁＝(x₁，y₁，z₁)，平面FAB的法向量为n₂＝(x₂，y₂，z₂)．
由n₁·＝0，n₁·＝0，得因此可取n₁＝(3，，－2)．
由n₂·＝0，n₂·＝0，得故可取n₂＝(3，－，2)．
从而向量n₁，n₂的夹角的余弦值为cos〈n₁，n₂〉＝＝.
故二面角B-AF-D的正弦值为.