Question

已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK=

3

2

，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O的表面积等于（　　）

A．12π

B．16π

C．9π

D．24π

Answer 1

分析：设C是两圆的公共弦AB的中点，连结KC、OC，则OC⊥AB，KC⊥AB，可得∠KCO是题中二面角的平面角，得∠KCO=60°．Rt△KOC中算出OC=

3

，再在Rt△AOC中根据勾股定理，得R²=

1

4

R²+3，解得R=2，即可得出球O的表面积大小．

解答：解：设两圆的公共弦长为AB，C为AB的中点，连结KC、OC
则OC⊥AB，KC⊥AB，
∴∠KCO就是圆O与圆K所在的平面所成的二面角的平面角，即∠KCO=60°
∵Rt△KOC中，OK=

3

2

，∴OC=

OK

sin60°

=

3

Rt△AOC中，OA²=OC²+AC²，即R²=

1

4

R²+3，得R=2
因此，球O的表面积S=4πR²=16π
故选：B

点评：本题给出球O满足的条件，求球的表面积大小．着重考查了球的截面圆性质、二面角的平面角的定义和球的表面积公式等知识，属于中档题．