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    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2
    		3
    ，M、N分别为AB、SB的中点．
    （Ⅰ）证明：AC⊥SB；
    （Ⅱ）求二面角N-CM-B的余弦值；
    （Ⅲ）求三棱锥N-BCM的体积．
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    （Ⅰ）证明：取AC中点O，连结OS、OB．
    ∵SA=SC，AB=BC，
    ∴AC⊥SO且AC⊥BO．
    ∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，
    ∴SO⊥面ABC，
    ∴SO⊥BO．
    如图所示建立空间直角坐标系O-xyz．
    则A(2，0，0)，B(0，2
    		3
    ，0)    ，C（-2，0，0），S(0，0，2
    		2
    )，M(1，
    		3
    ，0)    ，N(0，
    		3
    ，
    		2
    )    ．
    ∴
    AC
    =(-4，0，0)
    SB
    =(0，2
    		3
    ，-2
    		2
    )    ，
    ∵
    AC
    •
    SB
    =(-4，0，0)•(0，2
    		3
    ，-2
    		2
    )=0    ，
    ∴AC⊥SB．（5分）
    （Ⅱ）由（Ⅰ）得
    CM
    =(3，
    		3
    ，0)，
    MN
    =(-1，0，
    		2
    )    ，
    设
    n
    =(x，y，z)    为平面CMN的一个法向量，则
    CM
    •
    n
    =3x+
    		3
    y=0    ，
    MN
    •
    n
    =-x+
    		2
    z=0    ，所以可取
    n
    =(
    		2
    ，-
    		6
    ，1)．又
    OS
    =(0，0，2
    		2
    )    为平面ABC的一个法向量，
    ∴cos(
    n
    •
    OS
    )=
    n
    •
    OS
    |
    n
    |•|
    OS
    |
    =
    1
    3
    ，
    ∴二面角N-CM-B的余弦值为
    1
    3
    ．     （9分）
    （Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）知OS=2
    		2
    ，∴N到平面ABC的距离为
    1
    2
    OS=
    		2
    ，
    而△CBM的面积为
    1
    2
    ×
    		3
    4
    ×42=2
    		3
    ，
    ∴三棱锥N-BCM的体积为VN-BCM=
    1
    3
    ×2
    		3
    ×
    		2
    =
    2
    		6
    3
    ．       （12分）
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为边长为1的等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．
    （Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
    （Ⅱ）证明：SA⊥BC；
    （Ⅲ）求三棱锥S-ABC的体积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．
    （Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
    （Ⅱ）求二面角A-SC-B的余弦值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB⊥底面ABC，且∠ASB=∠ABC=90°，AS=SB=2，AC=2
    		3
    ．

    （Ⅰ）求证SA⊥SC；
    （Ⅱ）在平面几何中，推导三角形内切圆的半径公式r=
    2S
    l
    （其中l是三角形的周长，S是三角形的面积），常用如下方法（如右图）：
    ①以内切圆的圆心O为顶点，将三角形ABC分割成三个小三角形：△OAB，△OAC，△OB精英家教网C．
    ②设△ABC三边长分别为a，b，c．由S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，
    得S=
    1
    2
    ar+
    1
    2
    br+
    1
    2
    cr    =
    1
    2
    lr    ，则r=
    2S
    l
    ．
    类比上述方法，请给出四面体内切球半径的计算公式（不要求说明类比过程），并利用该公式求出三棱锥S-ABC内切球的半径．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，在三棱锥S-ABC中，SA=AB=BC=AC=
    		2
    SB=
    		2
    SC    ，O为BC中点．
    （1）求证：SO⊥平面ABC
    （2）在线段AB上是否存在一点E，使二面角B-SC-E的平面角的余弦值为
    		15
    5
    ？若存在，确定E点位置；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在三棱锥S-ABC中，侧棱SC⊥平面SAB，SA⊥BC，侧面△SAB，△SBC，△SAC的面积分别为1，
    3
    2
    ，3，则此三棱锥的外接球的表面积为（　　）

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