Question

如果一个三角形的三边长度是连续的三个自然数，且最大角是最小角的两倍，该三角形的周长是________．

Answer 1

15
分析：设三角形三边是连续的三个自然n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，由正弦定理求得cosα=，再由余弦定理可得 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）×n×，求得n=5，从而得出结论．
解答：设三角形三边是连续的三个自然n-1，n，n+1，三个角分别为α，π-3α，2α，由正弦定理可得，
∴cosα=，
再由余弦定理可得 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•cosα，即 （n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）n•，
化简可得n²-5n=0，
∴n=5，n=0（舍去）
此时，三角形的三边分别为：4，5，6，周长为15，
故答案为：15．
点评：本题考查正弦定理、余弦定理的应用，求得n²-5n=0，是解题的难点，属于中档题．