Question

已知（

x

-

1

2x

）ⁿ的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，
（1）求n
（2）设（2x-1）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，求：①a₁+a₂+a₃+…+a_n ②a₁+2a₂+3a₃+…+na_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，前三项系数的绝对值是1，C_n¹（

1

2

），C_n²（

1

2

）²，列方程并求解即可．
（2）由（1）可求得n=8，①令x=0，求出a₀=1，再令x=1求解．
②令y=（2x-1）⁸求导令x=1求解．

解答：解：（1）依题意，前三项系数的绝对值是1，C_n¹（

1

2

），C_n²（

1

2

）²，
且2C_n¹•

1

2

=1+C_n²（

1

2

）²，
即n²-9n+8=0，
∴n=8      …5分
（2）①令x=0，得a₀=1，再令x=1，则（-1）⁸=a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n．   
故a₁+a₂+a₃+…+a_n=0  …10分
②令 y=（2x-1）⁸求导8（2x-1）⁷×2=a₁+2a₂x+3a₃x²+…+na_nx^n-1
令x=1得
a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=16   …15分．

点评：本题考查二项式定理的应用、由特殊到一般的赋值思想，转化、构造、计算能力．