Question

已知函数．
（1）若函数与的图象在公共点P处有相同的切线，求实数的值及点P的坐标；
（2）若函数与的图象有两个不同的交点M、N，求实数的取值范围 .

Answer 1

（1）1，；（2）.

解析试题分析：（1）先设公共点P坐标，再根据函数解析式在点P出的函数值相等，在点P出的切线斜率相等列方程组，求点P坐标及a的值；（2）根据两函数相等方程求的表达式，再利用导数求表达式的值域，则可得实数的取值范围.
试题解析：（1）设函数与的图象的公共点，
则有①又在点P有共同的切线
∴代入①得           3分
设
所以函数最多只有1个零点，观察得是零点，
∴，此时 .      3分
（2）由          2分
令       2分
当时，，则单调递增
当时，，则单调递减，且
所以在处取到最大值，          2分
所以要使与有两个不同的交点，则有           2分
考点：利用导数求函数的切线的斜率和单调性.