Question

16．设a，b，c∈R⁺，且a+b+c=3，证明：$\frac{{a}^{4}}{{b}^{2}+c}$+$\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}+a}$+$\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}+b}$≥$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式，即可证明结论．

解答 证明：∵$\frac{{a}^{4}}{{b}^{2}+c}$+b²+c≥2a²，$\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}+a}$+c²+a≥2b²，$\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}+b}$+a²+b≥2c²，
相加，移项可得$\frac{{a}^{4}}{{b}^{2}+c}$+$\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}+a}$+$\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}+b}$≥（a²+b²+c²）-（a+b+c），
∵a+b+c=3，a²+b²+c²≥$\frac{1}{2}$（a+b+c）²，
∴$\frac{{a}^{4}}{{b}^{2}+c}$+$\frac{{b}^{4}}{{c}^{2}+a}$+$\frac{{c}^{4}}{{a}^{2}+b}$≥$\frac{3}{2}$（a=b=c时取等号）．

点评 本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，正确运用基本不等式是关键．