Question

如图，已知ABCD-A₁B₁C₁D₁是底面为正方形的长方体，∠AD₁A₁=60°，AD₁=4，P为AD₁的中点，（1）求证：直线C₁P∥平面AB₁C；（2）求异面直线AA₁与B₁P所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）求证：直线C₁P∥平面AB₁C，取B₁C中点Q，连接AQ，只需证明PC₁∥AQ即可；
（2）求异面直线AA₁与B₁P所成角的余弦值，法一：作出异面直线所成的角，直接解三角形即可；法二：利用空间直角坐标系，求出相关向量，求数量积即可．

解答：解：（1）证明：取B₁C中点Q，连接AQ，QC₁，
则QC₁∥AP且QC₁=AP，所以四边形APC₁Q是平行四边形，所以PC₁∥AQ，
又AQ?平面AB₁C，C₁P?平面AB₁C，所以直线C₁P∥平面AB₁C
（2）解法一：过点P作PE⊥A₁D₁，垂足为E，连接B₁E（如图），
则PE∥AA₁，∴∠B₁PE是异面直线AA₁与B₁P所成的角．
在 Rt△AA₁D₁中∵∠AD₁A₁=60°
∴∠A₁AD₁=30°
∴A1B1=A1D1=

1

2

AD1=2，A1E=

1

2

A1D1=1，
∴B1E=

B1A12+A1E2

=

5

．
又PE=

1

2

AA1=

3

．
∴在 Rt△B₁PE中，B1P=

5+3

=2

2

cos∠B1PE=

PE

B1P

=

3

2 2

=

6

4

．
∴异面异面直线AA₁与B₁P所成角的余弦值为

6

4

．

解法二：以A₁为原点，A₁B₁所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示，
则A₁（0，0，0），A(0，0，2

3

)，B₁（2，0，0），P(0，1，

3

)，
∴

A1A

=(0，0，2

3

)，

B1P

=(-2，1，

3

)
∴cos＜

A1A

，

B1P

＞=

A1A • B1P

| A1A| •| B1P|

=

6

2 3 •2 2

=

6

4

．
∴异面异面直线AA₁与B₁P所成角的余弦值为

6

4

．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，异面直线所成的角，考查学生逻辑思维能力，空间想象能力，是中档题．