Question

如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，
SA=AB=BC=2a，AD=a．
（Ⅰ）求点C到平面SBD的距离；
（Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

Answer 1

分析：（I）根据已知中底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=2a，AD=a．我们根据V_C-SBD=V_S-BCD，求出三棱体积和△SBD的面积，即可得到点C到平面SBD的距离；
（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连接SE，则SE是所求二面角的棱，∠BSC是面SCD与面SBA所成二面角的平面角，解三角形BSC，即可得到面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

解答：解：（Ⅰ）由题设条件得△SBD的面积是S=

1

2

BD•h=

1

2

5

a•

2 6 a

5

=

6

a2
设点C到平面SBD的距离为d由V_C-SBD=V_S-BCD得：d=

SA•S△BCD

S△BCD

=

2 6

3

a
所以点C到平面SBD的距离为

2 6

3

a（6分）
（Ⅱ）延长BA、CD相交于点E，连接SE，则SE是所求二面角的棱（7分）
∵AD∥BC，BC=2AD
∴EA=AB=SA∴SE⊥SB
∵SA⊥面ABCD得：面SEB⊥面EBC，EB是交线．
又BC⊥EB∴BC⊥面SEB故SB是SC在面SEB上的射影∴CS⊥SE，
∴∠BSC是面SCD与面SBA所成二面角的平面角（10分）
∵SB=

SA2+AB2

=2

2

a，BC=2a，
又BC⊥SB∴tan∠BSC=

BC

SB

=

2a

2 2 a

=

2

2

故所求二面角的正切值为

2

2

（12分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，点到平面的距离计算，其中（1）的求解是所有的等体积法的理论基础是转化思想，而（2）的关键同样也是利用转化思想，求出二面角的平面角，将问题转化为解三角形问题．