Question

如图在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝，AB＝a，AD＝3a，

且∠ADC＝arcsin，又PA⊥平面ABCD，PA=a.

求（1）二面角P—CD—A的大小（用反三角函数表示）.

（2）点A到平面PBC的距离.

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）如图，在平面ABCD内，过点A作AE⊥CD，垂足为E，连接PE. 由PA⊥平面ABCD，由三垂线定理知PE⊥CD，故∠PEA是二面角P—CD—A的平面角. 在Rt△DAE中，AD=3a，∠ADC＝arcsin 则AE＝AD·sinADE＝a 在Rt△PAE中，tanPEA＝ 故二面角P—CD—A的大小为arctan. （2）在平面PAB中，过点A作AH⊥PB，垂足为H. 由PA⊥平面ABCD，AB⊥BC，PA⊥BC，则有BC⊥平面PAB，又AH平面PAB，因此BC⊥AH，又AH⊥PB，故AH⊥平面PBC. 因此，线段AH的长即为点A到平面PBC的距离. 在等腰直角△PAB中，AH＝a，故点A到平面PBC的距离为a