Question

【题目】已知椭圆过点，，其上顶点到直线的距离为2，过点的直线与，轴的交点分别为、，且.

（1）证明：为定值；

（2）如上图所示，若，关于原点对称，，关于原点对称，且，求四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）其上顶点到直线的距离为2，求出，点代入椭圆方程，可求出椭圆方程，设经过点的直线方程为：，可得，.利用，可得，利用两点之间的距离公式可得；

（2）由（1）得直线的方程为，与椭圆方程联立求出，由点到直线距离公式，求出到直线距离，求出四边形面积的关于的表达式，结合关系，由基本不等式求出最大值.

（1）其上顶点到直线的距离为2，

，解得.

又椭圆过点，

，解得.

∴椭圆的标准方程为：.

点在椭圆上，.

设经过点的直线方程为：，

可得，.

，即.

为定值.

（2）由（1）得直线斜率为，

方程为，

即，，

联立解得，

，

点到直线的距离为，

当且仅当，即时，等号成立，

，

四边形面积的最大值为.