Question

【题目】如图1，在边长为4的正方形中，是的中点，是的中点，现将三角形沿翻折成如图2所示的五棱锥.

（1）求证：平面；

（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）利用线面平行的定义证明即可

（2）取的中点，并分别连接，，然后，证明相应的线面垂直关系，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用坐标运算进行求解即可

证明：（1）在图1中，连接.

又，分别为，中点，

所以.即图2中有.

又平面，平面，

所以平面.

解：（2）在图2中，取的中点，并分别连接，.

分析知，，.

又平面平面，平面平面，平面，所以平面.

又，所以，，.

分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，.

设平面的一个法向量，则，

取，则，，所以.

又，

所以.

分析知，直线与平面所成角的正弦值为.