Question

【题目】已知函数．

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）当时恒有成立，求满足条件的m的范围；

（3）当时，令方程有两个不同的根，，且满足，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）证明见解析.

【解析】

（1）求出和即可

（2）由，得，即

（3）先利用导数得出在上单调递减，在上单调递增，其中，然后分别求出在处的切线方程和在处的切线，然后结合图象即可证明.

（1）由题意，当时，，．

．

∵．

∴函数在处的切线方程为：．

（2）由题意，当时恒有成立，

即对任意成立．

∵当时，恒成立，

∴对任意恒成立．

∴．

∴m的取值范围为．

（3）证明：由题意，当时，．

．

①令，即，

根据图，很明显交点的横坐标在1与之间，设为，

即的解为，（），且．

②令，即x，解得；

③令，即，解得．

∴在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值．

∵，．

∴根据题意，画图如下：

由图，①设函数在处的切线为，

∵．

∴直线的直线方程：，

令，解得；

②设函数在处的切线为，

∵．∴直线的直线方程：，

令，解得．

∴