Question

【题目】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，其方程为.给出下列四个结论：

①曲线有四条对称轴；

②曲线上的点到原点的最大距离为；

③曲线第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为；

④四叶草面积小于.

其中，所有正确结论的序号是（ ）

A.①②B.①③C.①③④D.①②④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①利用之间的代换判断出对称轴的条数；②利用基本不等式求解出到原点的距离最大值；③将面积转化为的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值；④根据满足的不等式判断出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于.

①：当变为时， 不变，所以四叶草图象关于轴对称；

当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；

当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；

当变为时，不变，所以四叶草图象关于轴对称；

综上可知：有四条对称轴，故正确；

②：因为，所以，

所以，所以，取等号时，

所以最大距离为，故错误；

③：设任意一点，所以围成的矩形面积为，

因为，所以，所以，

取等号时，所以围成矩形面积的最大值为，故正确；

④：由②可知，所以四叶草包含在圆的内部，

因为圆的面积为：，所以四叶草的面积小于，故正确.

故选：C.