【题目】已知椭圆
：
，离心率
，
是椭圆的左顶点，
是椭圆的左焦点，
，直线
：
.
（1）求椭圆方程；
（2）直线
过点与椭圆交于
、
两点，直线
、
分别与直线交于
、
两点，试问：以
为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）以
为直径的圆能过两定点
、
【解析】
（1）根据
以及
，解方程组求得
的值，进而求得椭圆方程.（2）当直线
斜率存在时，设出直线的方程，
两点的坐标，根据直线
的方程求得
两点的坐标，由此求得以为直径的圆的方程.联立直线的方程和椭圆的方程，利用韦达定理写出两点坐标的关系，代入圆的方程进行化简，由此求得圆和
轴交点的坐标.当直线斜率不存在时，求得
点的坐标，求得为直径的圆的方程，由此求得该圆也过直线斜率存在时的两个点.由此判断出圆过定点，并得到定点的坐标.
（1）
，得
，所求椭圆方程：
.
（2）当直线斜率存在时，设直线：
，
、
，
直线
：
，
令
，得
，同理
，
以
为直径的圆：
，
整理得：
①
，得
，
，
②
将②代入①整理得：
，令
，得
或
.
当直线斜率不存在时，
、
、
、
，
以为直径的圆：
也过点
、
两点，
综上：以为直径的圆能过两定点、.
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．
（1）若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l是多少？
（2）若最大拱高h不小于6米，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小？（半个椭圆的面积公式为
，柱体体积为：底面积乘以高．本题结果精确到0.1米）
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某农场所对冬季昼夜温差大小与某反季大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了2019年12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下表：
日期 | 12月1日 | 12月2日 | 12月3日 | 12月4日 | 12月5日 |
温差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数y（颗） | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的两组数据进行检验.
(1)求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；
(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程
；并预报当温差为
时，种子发芽数.
附：回归直线方程：，其中
；
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某品牌服装店为了庆祝开业两周年，特举办“你敢买，我就送”的回馈活动，规定店庆当日进店购买指定服装的消费者可参加游戏，赢取奖金，游戏分为以下两种：
游戏 1：参加该游戏赢取奖金的成功率为
，成功后可获得
元奖金；
游戏 2：参加该游戏赢取奖金的成功率为
，成功后可得
元奖金；
无论参与哪种游戏，未成功均没有收获，每人有且仅有一次机会，且每次游戏成功与否均互不影响，游戏结束后可到收银台领取奖金。
（Ⅰ）已知甲参加游戏 1，乙参加游戏 2，记甲与乙获得的总奖金为
，若
，求
的值；
（Ⅱ）若甲、乙、丙三人都选择游戏 1或都选择游戏 2，问：他们选择何种规则，累计得到奖金的数学期望值最大？
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】已知
是椭圆
的左、右焦点，
为坐标原点，点
在椭圆上，线段
与
轴的交点
满足
．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）圆是以
为直径的圆，一直线
与圆相切，并与椭圆交于不同的两点
、
，当
，且满足
时，求
的面积
的取值范围．
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