Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，曲线总在曲线的下方，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减;(2) .

【解析】试题分析：（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；；（2）原命题等价于不等式在上恒成立，即，不等式恒成立，可化为恒成立，只需大于的最大值即可.

试题解析：（1）由可得的定义域为，且，

若，则，函数在上单调递增；

若，则当时，，在上单调递增，

当时，，在上单调递减.

综上，当时，函数在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

（2）原命题等价于不等式在上恒成立，

即，不等式恒成立.

∵当时，，∴，

即证当时，大于的最大值.

又∵当时，，∴，

综上所述，.

【方法点晴】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.本题是利用方法 ① 求得 的范围.