Question

【题目】设椭圆的左、右焦点为，，右顶点为，上顶点为.已知.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设为椭圆上异于其顶点的一点，以线段为直径的圆经过点，经过原点的直线与该圆相切.求直线的斜率.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或.

【解析】

（Ⅰ）由题意得，再结合即可得，即可得解；

（Ⅱ）设椭圆方程为，，由题意可得，进而可得圆的方程，利用直线与圆相切的性质列出方程后即可得解.

（Ⅰ）由，可得，

又，则.

所以，椭圆的离心率.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，故椭圆方程为.

设.由，，有，.

由已知，有，

即.

又，故有. ①

又因为点在椭圆上，故. ②

由①和②可得，而点不是椭圆的顶点，

故，代入①得，即点的坐标为，

设圆的圆心为，则，，

进而圆的半径.

设直线的斜率为，依题意，直线的方程为，

由与圆相切，可得，即，

整理得，解得.

所以，直线的斜率为或.