Question

点是边长为4的正方形的中心，点，分别是，的中点．沿对角线把正方形折成直二面角D－AC－B．

（Ⅰ）求的大小；

（Ⅱ）求二面角的大小．

 

Answer 1

解法一：（Ⅰ）如图，过点E作EG⊥AC，垂足为G，过点F作FH⊥AC，垂足为H，则，．

      

因为二面角D－AC－B为直二面角，

 

又在中，，

．

． 

（Ⅱ）过点G作GM垂直于FO的延长线于点M，连EM．

∵二面角D－AC－B为直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交线为AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂线定理，得EM⊥OF．

∴就是二面角的平面角．

在RtEGM中，，，，

∴．∴．

所以，二面角的大小为．

解法二：（Ⅰ）建立如图所示的直角坐标系O－xyz，

则，．

．

．

（Ⅱ）设平面OEF的法向量为．

由得

解得．

所以，．

又因为平面AOF的法向量为，   

．∴．

所以，二面角的大小为