Question

5．设数列{a_n}，{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n，2S_n=3a_n-3，T_n=n²+n，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）证明：$\frac{1}{{a}_{1}-{b}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}-{b}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}-{b}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}-{b}_{n}}$＜$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系、等差数列与等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用二项式定理、不等式的性质即可证明．

解答 解：（1）∵2S_n=3a_n-3，∴n≥2时，2a_n=2（S_n-S_n-1）=3a_n-3-（3a_n-1-3），化为：a_n=3a_n-1．
n=1时，2a₁=3a₁-3，解得a₁=3．
∴数列{a_n}为等比数列，公比为3．∴a_n=3ⁿ．
T_n=n²+n，n∈N^*，∴数列{b_n}是等差数列，首项b₁=T₁=2，2+b₂=6，解得b₂=4．
∴公差d=2，∴b_n=2+2（n-1）=2n．
（2）当n≥2时，a_n-b_n=3ⁿ-2n
=（1+2）ⁿ-2n
=$1+2n+{∁}_{n}^{2}$2²+…+${∁}_{n}^{n}$•2ⁿ-2n
＞1+2ⁿ．
①n=1时：左边=$\frac{1}{{a}_{1}-{b}_{1}}$=$\frac{1}{3-2}$=1$＜\frac{3}{2}$；
②当n≥2时，左边=1+$\frac{\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{2}^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n}}$$＜\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、数列的单调性、不等式的性质、二项式定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．