Question

给出下列不等式：
①a²+b²≥2（a+b-1）（a，b∈R）；
②a⁵+b⁵≥a³b²+a²b³（a，b∈R）；
③a＞b＞0，且a2+

b2

4

=1，则ab＞a²b²；
④a，b∈R，且ab＜0，则

a2+b2

ab

≤-2；
⑤a＞b＞0，m＞0则

a+m

b+m

＞

a

b

；
⑥|x+

4

x

|≥4(x≠0)．其中正确命题的个数是（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：利用配方法能够判断①的正误；利用作差法能够判断②和⑤的正误；利用不等式性质能够判断③和④的正误；利用均值不等式能够判断⑥的正误．

解答：解：∵a²+b²-2（a+b-1）
=a²-2a+1+（b²-2b+1）
=（a-1）²+（b-1）²≥0，
∴a²+b²≥2（a+b-1）（a，b∈R），故①正确；
∵a⁵+b⁵-a³b²-a²b³
=a³（a²-b²）-b³（a²-b²）
=（a-b）²（a+b）（a²+ab+b²）≥0不成立，
∴a⁵+b⁵≥a³b²+a²b³（a，b∈R）不成立，故②不正确；
∵a＞b＞0，∴ab＞b²，
∵a2+

b2

4

=1，
∴ab＞b²（a²+

b2

4

）=a2b2+

b4

4

，
∴ab＞a²b²，故③成立；
∵（a+b）²≥0，
∴a²+b²≥-2ab，
∵ab＜0，
∴

a2+b2

ab

≤-2，故④成立；
∵a＞b＞0，m＞0，
∴

b

a

-

b+m

a+m

=

b(a+m)-a(b+m)

a(m+a)

=

(b-a)m

a(m+a)

＜0，
所以

a+m

b+m

＞

a

b

，故⑤正确；
当x＞0时，y=x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，
当x＜0时，y=x+

4

x

=-（-x-

4

x

）≤2

(-x)•(- 4 x )

=-4，
∴|x+

4

x

|≥4(x≠0)，故⑥正确．
故选D．

点评：本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式的性质的灵活运用．