Question

已知空间向量

a

，

b

满足条件：（

a

+3

b

）⊥（7

a

-5

b

），且（

a

-4

b

）⊥（7

a

-2

b

），则空间向量

a

，

b

的夹角＜

a

，

b

＞（　　）

• A、等于30°
• B、等于45°
• C、等于60°
• D、不确定

Answer 1

分析：根据所给的两个垂直关系，写出两组向量的数量积为0，整理式子，把两个向量的数量积和一个向量的模长用另一个向量的模长来表示，写出求夹角的式子，约分得到余弦值，进一步得到夹角．

解答：解：由题意知：7

a

2+16

a

•

b

-15

b

2=0   ①
7

a

2-30

a

•

b

+8

b

2=0     ②
∴15

b

2-16

a

•

b

=30

a

•

b

-8

b

2，
∴

b

2=2

a

•

b

   ③
把③代入①得

a

2=

b

2，
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b |

=

1

2

，
∵两个向量的夹角属于[0°，180°]
∴两个向量的夹角等于60°
故选C．

点评：本题考查用两个向量的数量积求两个向量的夹角，是一个比较典型的题目，这里把向量之间的运算展示的非常清楚，注意由值求角时，要写出角的范围，不然不能确定角的大小．