Question

若不等式8x⁴+8（a-2）x²-a+5＞0对于任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A．（

  1

  2

  ，5）
• B．（-∞，2）
• C．（2，+∞）
• D．（2，5）

Answer 1

分析：令f（x）=8x⁴+8（a-2）x²-a+5，通过对a分类讨论利用导数研究其单调性，只要证明f（x）_min＞0即可得出．

解答：解：令f（x）=8x⁴+8（a-2）x²-a+5，则f′（x）=32x³+16（a-2）x=32x(x2+

a-2

2

)．
①当a≥2时，令f′（x）=0，解得x=0．
当x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x0单调递增；当x＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
因此，当x=0时，f（x）取得极小值，即最小值，由题意f（0）=-a+5＞0，解得a＜5．
∴2≤a＜5．
②当a＜2时，令f′（x）=0，解得x=0，±

2-a 2

．
令f′（x）＞0，解得-

2-a 2

＜x＜0，x＞

2-a 2

；令f′（x）＜0，解得x＜-

2-a 2

，0＜x＜

2-a 2

．
∴函数f（x）在x=±

2-a 2

时取得极小值．
由题意f（x）=8(

2-a

2

)2+8(a-2)•

2-a

2

-a+5＞0，化为2a²-7a+3＜0，解得

1

2

＜a＜3．
又a＜2，∴

1

2

＜a＜2．
综上可知：a的取值范围是

1

2

＜a＜5．
故选A．

点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法等是解题的关键．