Question

已知数列{a_n}满足a 1=

2

5

，且对任意n∈N⁺，都有

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_n•a_n+1，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求证：Tn＜

4

15

．

Answer 1

分析：（1）对数列递推式化简，可得数列{

1

an

}是以

5

2

为首项，

3

2

为公差的等差数列，由此可得求{a_n}的通项公式；
（2）利用裂项法求数列的和，即可证得结论．

解答：（1）解：∵

an

an+1

=

4an+2

an+1+2

，
∴2a_n-2a_n+1=3a_na_n+1
∴

1

an+1

-

1

an

=

3

2

∴数列{

1

an

}是以

5

2

为首项，

3

2

为公差的等差数列
∴

1

an

=

5

2

+

3

2

(n-1)=

3n+2

2

∴an=

2

3n+2

；
（2）证明：bn=an•an+1=

2

3n+2

•

2

3n+5

=

4

3

(

1

3n+2

-

1

3n+5

)
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=

4

3

(

1

5

-

1

3n+5

)＜

4

15

…（12分）

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的通项公式，考查裂项法求数列的和，考查不等式的证明，正确确定数列的通项是关键．