Question

已知{a_n}是首项为a₁，公比q为正数的等比数列，其前n项和为S_n，且有5S₂=4S₄，设b_n=q+qⁿ+S_n．
（1）求q的值；
（2）数列{b_n}能否是等比数列？若是，请求出所有可能的a₁的值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等比数列的前n项和公式s_n=

a1(1-qn)

1-q

，写出S₂，S₄，代入等式5S₂=4S₄，可以求出q；
（2）先化简数列b_n=q+qⁿ+S_n，根据前三项可以求出首项a₁，代入a₁，验证数列{b_n}是否为等比数列即可．

解答：解：由题意知
（1）∵q≠1，
∴S₂=

a1(1-q2)

1-q

，S₄=

a1(1-q4)

1-q

，
∴5（1-q²）=4（1-q⁴）．
∵q＞0，
∴q=

1

2

．
（2）∵S_n=

a1(1-qn)

1-q

=2a₁-2a₁（

1

2

）ⁿ，
∴b_n=q+qⁿ+S_n=2a₁+

1

2

+（1-2a₁）（

1

2

）ⁿ．
若{b_n}是等比数列，则b₁=a₁+1，b₂=

3

2

a₁+

3

4

，b₃=

7

4

a₁+

5

8

，
由b₂²=b₁b₂，解得8a₁²-2a₁-1=0，所以a₁=-

1

4

，或a₁=

1

2

．
①当a₁=

1

2

时，b_n=

3

2

，
∴数列{b_n}是等比数列．
②当a₁=-

1

4

时，b_n=

3

2

 （

1

2

）ⁿ．
∵

bn+

bn

=

3 2 ( 1 2 )n+1

3 2 ( 1 2 )n

=

1

2

，
∴数列{b_n}是等比数列．

点评：本题主要考查利用定义证明数列为等比数列，及等比数列的前n项和公式的应用，属于中档题型．