Question

12．数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=2，S_n+1=S_n+cn（c≠0）且S₁，S₂，S₃成等比数列．求
（1）常数c；
（2）数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=2，S_n+1=S_n+cn（c≠0），可得S₂=2+c，S₃=2+3c．由于S₁，S₂，S₃成等比数列，可得${S}_{2}^{2}$=S₁•S₃，解出即可得出．
（2）由于S_n+1-S_n=2n，利用S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=2，S_n+1=S_n+cn（c≠0），
∴S₂=2+c，S₃=2+3c．
∵S₁，S₂，S₃成等比数列，
∴${S}_{2}^{2}$=S₁•S₃，
∴（2+c）²=2（2+3c），（c≠0）．
解得c=2．
（2）∵S_n+1-S_n=2n，
∴S_n=（S_n-S_n-1）+（S_n-1-S_n-2）+…+（S₂-S₁）+S₁
=2（n-1）+2（n-2）+…+2+2
=$\frac{（n-1）（2n-2+2）}{2}$+2
=n²-n+2．

点评 本题考查了“累加求和”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．