Question

在△ABC中，最长边上的中线长为15，其他两边之和为42，且sinC=

sinA

cosB

，求BC的边长．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：sinC=

sinA

cosB

，由cosB=

a

c

＜1，可得最长边为c或b．当最长边为c时，a+b=42，在△BCD中，由余弦定理可得：cosB=

( c 2 )2+a2-152

2× c 2 ×a

=

a

c

，解得c．在△ABC中，由余弦定理可得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a

c

，联立解出即可．当最长边为b时．经过计算，不符合题意，舍去．

解答： 解：∵sinC=

sinA

cosB

，∴cosB=

a

c

＜1，
∴最长边为c或b．
①当最长边为c时，a+b=42，
在△BCD中，由余弦定理可得：cosB=

( c 2 )2+a2-152

2× c 2 ×a

=

a

c

，解得c=30．
在△ABC中，由余弦定理可得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a

c

，化为c²=b²+a²，又c=30，a+b=42，解得a=24或18．
②当最长边为b时．经过计算，不符合题意，舍去．
综上可得：BC=24或18．

点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．