Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

cosA

cosB

=

b

a

，且C=

2π

3

．
（1）求角A，B的大小；
（2）设函数f（x）=sin（2x+A）-sin²x+cos²x，求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．

Answer 1

考点：正弦定理的应用,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）由题意及正弦定理可得sin2A=sin2B，可得A=B，即可求得角A，B的大小；
（2）化简解析式可得f（x）=

3

sin（2x+

π

3

），从而可求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．

解答： 解：（1）∵

cosA

cosB

=

b

a

，由正弦定理可得

cosA

cosB

=

b

a

=

sinB

sinA

，
即sin2A=sin2B，
∴A=B或A+B=

π

2

（舍去），
又∠C=

2π

3

，所以，A=B=

π

6

．
（2）f（x）=sin（2x+A）-sin²x+cos²x=sin（2x+

π

6

）+cos2x，
=sin2xcos

π

6

+cos2xsin

π

6

+cos2x，
=

3

2

sin2x+

3

2

cos2x=

3

sin（2x+

π

3

），
所以，最小正周期为T=

2π

|ω|

=π，
令2kπ+

π

2

＜2x+

π

3

＜2kπ+

3π

2

（k∈Z），得kπ+

π

12

＜x＜kπ+

7π

12

（k∈Z），
所以，函数函数f（x）的单调递减区间[kπ+

π

12

，kπ+

7π

12

]，（k∈Z）．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理的应用，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．