Question

一个平面用n条直线去划分,最多能被分成几块?

Answer 1

解:只有当这些直线互不平行并且没有两条以上的直线交于同一点时,才能使分成的块数为最多.后面,我们假定这两个条件都满足,用a_n表示由n条直线划分平面时所产生的块数.?

我们从n=1、2、3、4情形入手,然后比较、分析其中的规律性,进而归纳出a_n.?

用实验的方法可得a₁=2,a₂=4,a₃=7,a₄=11,观察这个数列,发现可用二次式表?达为??

a₁=,a₂=,a₃=,a₄=,?

由此猜想{a_n}的通项为a_n=.?

上述的具体计算及归纳猜想都不是件容易的事,我们可以归纳出对n条直线都适用的方法(递推法).?

设n-1条直线把平面分成a_n-1块,现在我们再添加第n条直线,它与前面n-1条直线相交可得到n-1个交点,这n-1个交点将第n条直线分成n段,每段将其穿过的平面块一分为二,这样就比原来多增加了n块.于是得到递推公式:a_n=a_n-1+n.?

在上式中分别令n=1,2,…,n,得n个等式?

a₁=1+1,?

a₂=a₁+2,?

…?

a_n=a_n-1+n.?

把它们加起来,得到

a_n=1+(1+2+…+n)

=1+

=.?

因此,一个平面用n条直线去划分,最多被分成块.

点评:运用归纳推理需要考察部分对象的情形,从而归纳猜想出一般规律,这样往往有时计算量大,易出偏差,且内部潜在的规律性有时难于看出来,就用“递推法”取代“经验归纳法”,转向考查问题每递进一步所反映的规律,即探求递推关系,最后用初始值及递推关系来寻找一般规律.