Question

（2012•东城区模拟）已知函数f（x）=2ax³-3ax²+1，g（x）=-

a

4

x+

3

2

（a∈R）．
（Ⅰ） 当a=1时，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 当a≤0时，若任意给定的x₀∈[0，2]，在[0.2]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使 得f（x_i）=g（x₀）成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求导函数，利用导数的正负，可求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）利用f（x）的最大值大于g（x）的最大值，即可求得a的取值范围．

解答：解：（I）求导函数可得f′（x）=6x（x-1）------------------------（2分）
由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜1；
故函数f（x）的单调递增区间是（-∞，0）和（1，+∞）；单调递减区间是（0，1）．-----------（6分）
（II） ①当a=0时，f(x)=1，g(x)=

3

2

，显然不可能满足题意；------------（7分）
②当a＜0时，f'（x）=6ax²-6ax=6ax（x-1）．

x	0	（0，1）	1	（1，2）	2
f′（x）	0	+	0	-
f（x）	1		极大值1-a		1+4a

------------------------------（9分）
又因为当a＜0时，g（x）=-

a

4

x+

3

2

在[0，2]上是增函数，
∴对任意x∈[0，2]，g(x)∈[

3

2

，-

a

2

+

3

2

]，-------------------------------（11分）
由题意可得-

a

2

+

3

2

＜1-a，解得a＜-1．
综上，a的取值范围为（-∞，-1）．---------（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查存在性问题，确定函数的最大值是关键．