Question

4．定义在R上的奇函数f（x），对于?x∈R，都有$f（{\frac{3}{4}+x}）=f（{\frac{3}{4}-x}）$，且满足f（4）＞-2，$f（2）=m-\frac{3}{m}$，则实数m的取值范围是{m|m＜-1或0＜m＜3}．

Answer 1

分析 根据$f（\frac{3}{4}+x）=f（\frac{3}{4}-x）$，然后用$\frac{3}{4}+x$代换x便可得到$f（\frac{3}{2}+x）=-f（x）$，再用$\frac{3}{2}+x$代换x便可得出f（x+3）=f（x），从而便得到f（x）是以3为周期的周期函数，这样即可得到f（1）＞-2，$m-\frac{3}{m}=-f（1）$，从而解不等式$m-\frac{3}{m}＜2$便可得出实数m的取值范围．

解答 解：∵$f（\frac{3}{4}+x）=f（\frac{3}{4}-x）$；
用$\frac{3}{4}+x$代换x得：$f（\frac{3}{2}+x）=f（-x）=-f（x）$；
用$\frac{3}{2}+x$代换x得：$f（x+3）=-f（x+\frac{3}{2}）=f（x）$；
即f（x）=f（x+3）；
∴函数f（x）是以3为周期的周期函数；
∴f（4）=f（1）＞-2，f（2）=-f（-2）=-f（-2+3）=-f（1）＜2；
∴$m-\frac{3}{m}＜2$；
解得m＜-1，或0＜m＜3；
∴实数m的取值范围为{m|m＜-1，或0＜m＜3}．
故答案为：{m|m＜-1，或0＜m＜3}．

点评 考查奇函数的定义，已知f（x）求f[g（x）]的方法，周期函数的定义，以及分式不等式的解法．