Question

某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？

Answer 1

解法一：设2001年末汽车保有量为b₁万辆，以后各年末汽车保有量依次为b₂万辆，b₃万辆，…，每年新增汽车x万辆，则b₁=30，b₂=b₁×0.94+x.对于n＞1，有b_n+1=b_n×0.94+x=b_n－1×0.94²+（1+0.94）x=…

∴b_n+1=b₁×0.94ⁿ+x（1+0.94+…+）

=b₁×0.94ⁿ+x

=+（30－）×0.94ⁿ.

当30－≥0，即x≤1.8时，b_n+1≤b_n≤…≤b₁=30.

当30－＜0，即x＞1.8时，

b_n=［+（30－）×］=，并且数列{b_n}逐次增加，可以任意靠近，

b_n=［+（30－）×］=.

因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即b_n≤60（n=1，2，3，…），

则≤60，即x≤3.6（万辆）.

综上，每年新增汽车不应超过3.6万辆.

解法二：依题意要求汽车保有量不超过60万辆，即b_n≤60（n=1，2，3，…），也就是

30×+x≤60恒成立.

解这个关于x的一元一次不等式，得

x≤1.8（1+），

记f（n）=1.8+.                                                                           （*）

∵f（n）是关于n的单调递减函数，

∴f（n）≥f（n）=3.6.

要使（*）式恒成立，当且仅当x≤3.6.

故每年新增汽车不应超过3.6万辆.

如果换一种思维方式来思考本题，会发现用小学数学知识就能解决：

如果每年新增汽车的数量不超过年末报废汽车的数量（x≤1.8万辆），那么汽车的保有量要逐年减少（或保持原有的数量），这显然能使该城市汽车保有量不超过60万辆.

如果每年新增汽车数量比年末报废的要多，那么汽车的保有量就要逐年增加，经过若干年后，汽车保有量就会达到60万辆，随后每年新增汽车数量只有等于或小于年末汽车报废的数量才能使该城市汽车保有量不超过60万辆，即每年新增汽车数量x≤60×6%=3.6（万辆）.

所以每年新增汽车不应超过3.6万辆.