Question

【题目】已知椭圆C： （a＞b＞0）经过点（ ，1），过点A（0，1）的动直线l与椭圆C交于M、N两点，当直线l过椭圆C的左焦点时，直线l的斜率为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在与点A不同的定点B，使得∠ABM=∠ABN恒成立？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：椭圆C： （a＞b＞0）经过点（ ，1），

可得 + =1，又设左焦点为（﹣c，0），有 = ，

即c= ，a2﹣b2=2，解得a=2，b= ，

则椭圆方程为

（2）

解：假设存在与点A不同的定点B，使得∠ABM=∠ABN恒成立．

当直线MN的斜率为0时，由对称性可得B在y轴上，设为B（0，t），

设直线MN的方程为x=my+1，

代入椭圆方程可得，（2+m2）y2+2my﹣3=0，

设M（x1，y1），N（x2，y2），

可得y1+y2=﹣ ，y1y2=﹣ ，

由假设可得kBM+kBN=0，

即为 + =0，

即有x1y2+x2y1=t（x1+x2），

即m（y1+1）y2+（my2+1）y1=t[m（y1+y2）+2]，

即有2my1y2+（y1+y2）=t[m（y1+y2）+2]，

即为 ﹣ =t（﹣ +2），

化为﹣8m=4t，即t+2m=0，由于m为任意的，则t不为定值．

故不存在与点A不同的定点B，使得∠ABM=∠ABN恒成立

【解析】（1）将点（ ，1）代入椭圆方程，设左焦点为（﹣c，0），再由斜率公式，可得c的值，结合a，b，c的关系，即可得到椭圆方程；（2）假设存在与点A不同的定点B，使得∠ABM=∠ABN恒成立．当直线MN的斜率为0时，由对称性可得B在y轴上，设为B（0，t），设直线MN的方程为x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理，设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），由假设可得kBM+kBN=0，化简整理，可得t+2m=0，故不存在这样的定点B．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．