Question

设函数f（x）=log_a（x+2）-1（a＞0，且a≠1）．
（1）若f（2）=1，求函数f（x）的零点；
（2）若a＞1，f（x）在[0，1]上的最大值与最小值互为相反数，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）=log_a（x+2）-1且f（2）=1，求出a值，令f（x）=0，可得函数零点；
（2）由a＞1，可判断出函数f（x）在区间[0，1]上的单调性，进而根据f（x）在[0，1]上的最大值与最小值互为相反数，构造方程求出a的值．

解答：解：（1）∵f（x）=log_a（x+2）-1
若f（2）=1，
即1=log_a（2+2）-1
解得a=2
则f（x）=log₂（x+2）-1
令f（x）=0
解得x=0
即函数f（x）的零点为0；
（2）若a＞1，则f（x）=log_a（x+2）-1在其定义域上为增函数
则f（x）在[0，1]上的最大值与最小值分别为f（0），f（1）
又∵f（x）在[0，1]上的最大值与最小值互为相反数
∴f（0）+f（1）=0
即log_a2-1+log_a3-1=0
即log_a6=2
解得a=

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点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，其中根据已知条件，构造参数a的方程，是解答本题的关键．