Question

设S_n为数列a_n的前n项和，S_n=λa_n-1，λ为常数，n=1、2、3…
（1）若a3=

a

2 2

，求λ的值
（2）是否存在实数λ，使该数列是等差数列？若存在，求λ的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：等差关系的确定,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=λa_n-1，求出知a₁，根据a3=

a

2 2

，即可求出λ的值．
（2）假设存在实数λ，使得数列{a_n}是等差数列，则2a₂=a₁+a₃，然后解方程，得到矛盾即可得到结论．

解答： 解：（1）∵S_n=λa_n-1，
∴a₁=λa₁-1，
a₂+a₁=λa₂-1，
a₃+a₂+a₁=λa₃-1，
由a₁=λa₁-1，得λ≠1，
∴a₁=

1

λ-1

，a2=

λ

(λ-1)2

，a3=

λ2

(λ-1)3

，
∵a3=

a

2 2

，
∴

λ2

(λ-1)3

=

λ2

(λ-1)4

，
∴λ=0，或λ=2．
（2）假设存在实数λ，使得数列{a_n}是等差数列，
则2a₂=a₁+a₃，
由（1）得

2λ

(λ-1)2

=

1

λ-1

+

λ2

(λ-1)3

，
∴

2λ

(λ-1)2

=

2λ2-2λ+1

(λ-1)3

，
整理得1=0，不成立，
∴不存在实数λ，使得数列{a_n}是等差数列．

点评：点评：本题主要考查等差数列的应用，考查数列的前n项和的求法．解题时要认真审题，考查学生的计算能力．