Question

当x≥0，y≥0且x²+y²=1时，x+y-xy的最小值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由于xy=

(x+y)2-(x2+y2)

2

=

(x+y)2-1

2

，可得x+y-xy=-

1

2

[(x+y)-1]2+1．利用x≥0，y≥0，x²+y²=1，可得

1

2

≤

x+y

2

≤

x2+y2 2

，即1≤x+y≤

2

．再利用二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：∵xy=

(x+y)2-(x2+y2)

2

=

(x+y)2-1

2

，
∴x+y-xy=(x+y)-

(x+y)2-1

2

=-

1

2

[(x+y)-1]2+1．
∵x≥0，y≥0，x²+y²=1，
∴

1

2

≤

x+y

2

≤

x2+y2 2

，
∴1≤x+y≤

2

．
∴当x+y=

2

时，x+y-xy的最小值是

2

-

1

2

．
故答案为：

2

-

1

2

．

点评：本题考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．